通過軌道權重福井函數和軌道權重雙描述符預測親核和親電反應位點
通過軌道權重福井函數和軌道權重雙描述符預測親核和親電反應位點
文/Sobereva@北京科音
First release: 2020-Feb-24 Last update: 2022-May-24
0 前言
福井函數（Fukui function）與雙描述符（dual descriptor）是概念密度泛函理論框架下定義的非常流行的用于預測反應位點的方法，筆者之前寫過很多相關文章，連同大量相關綜述都匯總提供在了這里：《概念密度泛函綜述和重要文獻合集》（http://bbs.keinsci.com/thread-384-1-1.html）。如果讀者對一般形式的福井函數和雙描述符都不了解的話，看下文之前尤其建議先看《親電取代反應中活性位點預測方法的比較》（http://www.whxb.pku.edu.cn/CN/abstract/abstract28694.shtml）一文中介紹的相關知識。Multiwfn程序還專門提供了非常省事的計算這些量的功能，見《使用Multiwfn超級方便地計算出概念密度泛函理論中定義的各種量》（http://www.shanxitv.org/484）。
福井函數和雙描述符用于大多數體系都沒什么問題。但有些體系比如C60、18碳環，具有高階點群對稱性，這往往令前線分子軌道存在簡并性。還有些體系，前線軌道能量相差很小，即準簡并。對這些情況，福井函數和雙描述符可能無法給出有意義的結果，比如其函數分布不滿足體系對稱性，因此明顯違背基本化學直覺。J. Comput. Chem., 38, 481 (2017)中作者提出了軌道權重福井函數的概念，在J. Phys. Chem. A, 123, 10556 (2019)中他們進一步提出了軌道權重雙描述符的概念。相對于一般形式的福井函數和雙描述符，這種軌道權重(orbital-weighted)的形式的優點在于可以較合理地用于前線軌道(準)簡并的體系，并且對于有對稱性的體系，結果完全滿足分子對稱性。
由于軌道權重福井函數和軌道權重雙描述符比較有實際價值，計算起來也很容易，波函數分析程序Multiwfn從2020-Feb-24更新的版本開始支持了這兩種函數，在下文將進行介紹，然后給出各種實例演示在Multiwfn中的操作以及它們的實際價值。Multiwfn可以在http://www.shanxitv.org/multiwfn免費下載，不熟悉者建議參看《Multiwfn FAQ》（http://www.shanxitv.org/452）。Multiwfn是預測反應位點非常強大的工具，支持的這方面的方法見手冊4.A.4節的匯總介紹。
重要提醒：如果你的體系的前線軌道沒有簡并或者準簡并特征，即原始形式的福井函數和雙描述符就已經直接適用的話，就完全沒必要而且也不建議用本文介紹的軌道權重的形式（因為這種形式的可調參數Δ的選取存在一定任意性，而且無法考慮軌道弛豫效應）。原始形式的福井函數和雙描述符怎么計算在《使用Multiwfn超級方便地計算出概念密度泛函理論中定義的各種量》（http://www.shanxitv.org/484）都明確示例了。
2 原理
首先回顧一下，福井函數分為三種，f-、f+、f0。有兩種常見計算形式，例如f-：
(1)嚴格的計算方式：通過有限差分方式獲得，即f- = ρ(N) - ρ(N-1)。N是體系原先具有的電子數。以這種形式計算原理上較嚴格，但需要分別對N和N-1態分別計算得到波函數文件，故略麻煩一些
(2)軌道凍結近似的計算方式：f-等于HOMO軌道的密度。這種方式計算原理上沒有(1)嚴格，因為忽略了軌道弛豫效應，但計算省事
雙描述符（Δf）定義為f+減去f-，因此雙描述符也有以上兩種不同的計算方式。
軌道權重福井函數和軌道權重雙描述符定義如下，w下標意為weighted
其中μ是化學勢，在當前方法中是將HOMO與LUMO能量取平均的方式近似計算的。ε和φ分別是分子軌道能量和波函數。Δ是可調參數，影響式中Gaussian函數衰減的快慢。軌道權重形式的福井函數和一般形式一樣，都是全空間積分數值為1。
可見軌道權重的福井函數/雙描述符也是基于軌道凍結形式計算的。相對于原始形式，這種軌道權重形式的特點是把所有軌道同時考慮，每個軌道有不同的權重。權重一方面取決于軌道能量與化學勢的差值，另一方面取決于可調參數Δ。Δ的數值越小，能量偏離HOMO與LUMO平均能量越大的軌道的權重就傾向于變得越小。當Δ無限小，軌道權重形式就還原為原始形式。Δ的最佳值是能令軌道權重福井函數/雙描述符對當前體系反應位點預測得盡可能和實際一致的情況，因此它的最佳取值對體系有依賴性。不過對于預測而非解釋反應位點的情況，我們并不事先知道反應在哪里更容易發生，所以Δ的確定有很大的含糊性。軌道權重福井函數的JCC原文里發現對大部分體系用Δ=0.1 Hartree比較適合，因此這被Multiwfn作為默認值。可以先試試這個，如果發現不好的話可以再根據實際情況進一步調節（比如發現軌道權重f-結果不好是因為低階占據軌道摻進去太多了，那么可以把Δ設小點試試）。
3 在Multiwfn中的計算
Multiwfn的主功能22里提供了非常方便的計算軌道權重的福井函數/雙描述符的功能，可以計算它們的格點數據，之后能直接看等值面，也可以導出為cub文件便于用第三方程序觀看。還有現成的選項通過Hirshfeld空間劃分方式計算簡縮(condensed)軌道權重福井函數/雙描述符，便于定量考察軌道權重福井函數/雙描述符在各個原子上的分布量。另外，軌道權重f+/f-/f0/Δf分別對應于Multiwfn中的用戶自定義函數95、96、97、98，因此在Multiwfn中對它們可以像其它函數一樣去繪制曲線圖、平面圖、等值面圖，考察特定位置的數值，考察在分子表面上的定量分布情況，做盆分析，做域分析等等，極度靈活，只有想不到沒有做不到。
由于軌道權重f+/f0/Δf的表達式里涉及到空軌道，因此在Multiwfn中計算時應當用mwfn、fch、molden、gms文件中的一種，因為它們包含空軌道信息，而不能用不包含空軌道的諸如wfn、wfx文件。相關信息看《詳談Multiwfn支持的輸入文件類型、產生方法以及相互轉換》（http://www.shanxitv.org/379）。另外，由于彌散函數往往會破壞非占據分子軌道的化學意義，因此計算時不建議帶彌散函數。
4 實例
下面就通過一批例子演示軌道權重福井函數/雙描述符在Multiwfn中具體怎么計算，并且和其它方法進行對比討論。下面例子用到的文件都可以在這里下載：http://www.shanxitv.org/attach/533/file.rar。
4.1 例1：C60
這一節使用C60作為例子。它具有Ih很高階對稱性，前線軌道高度簡并，是展現軌道權重形式的福井函數/雙描述符價值的非常理想的體系。
啟動Multiwfn，然后輸入
C60.fch //在本文文件包里。在B3LYP/6-31G*下產生
22 //計算概念密度泛函框架下定義的各種量
現在會看到一個界面，其中選項4可以用來設置前述的Δ參數，這里我們就暫且用默認值。然后進入選項7，選擇恰當的格點設置后，程序就會開始計算各種軌道權重函數的格點數據。對當前體系就選Medium quality grid就夠了，如果不知道怎么設置格點合適的話，參看《Multiwfn FAQ》（http://www.shanxitv.org/452）中的Q39。
算完之后，會看到一個菜單，可以選擇相應選項直接觀看軌道權重的f+/f-/f0/Δf等值面，也可以選擇相應選項將它們導出為cub文件。這里我把軌道權重形式的f+/f-/Δf的等值面一起給出，如下所示。綠色和藍色分別代表數值為正和為負的部分。注意繪圖時要恰當設置等值面數值(isovalue)，如果發現圖中沒有出現任何等值面，通常是因為等值面數值設得還不夠小。下圖的等值面數值用的都是0.0003 a.u.。
按照福井函數的說法，f+越大的地方是越容易被親核進攻的位置，從上圖看并沒有發現在各個原子上的分布有什么特異性。從上圖中的軌道權重f-的分布可見在兩個六元環共享的碳碳鍵（[6,6]鍵）上發生親電反應的可能性明顯高于[5,6]鍵，因為在[6,6]鍵上方軌道權重f-的數值明顯大于其它地方。軌道權重雙描述符一張圖就可以同時展現易于發生親核和親電反應的位點，由圖可見只有在[6,6]鍵上方出現了藍色等值面，即軌道權重雙描述符為負的地方，這進一步體現了[6,6]鍵最容易被親電進攻，或者等價地說，[6,6]鍵上的區域的親核性更強。
下圖是軌道權重雙描述符原文J. Phys. Chem. A, 123, 10556 (2019)的TOC。
這TOC中左下角就是C60的軌道權重雙描述符，圖中藍色和桔黃色分別是數值為正和為負的等值面，用的等值面數值和本例不同（如果本例把等值面數值設小為0.00002就可以得到差不多的圖）。C60旁邊那個分子是環戊二烯。C60和環戊二烯之間是可以發生加成反應的，但只能加到[6,6]鍵上而不能加到[6,5]鍵上。這個TOC充分解釋了原因，因為[6,6]方式加成的話兩個反應物在接觸時，彼此的正好能以雙描述符符號互補的方式碰上（如虛線標注的），相當于一個分子的親核部位與另一個分子的親電部位相接觸，這顯然將令反應容易進行，更具體地說，這種方式發生反應的勢壘會比較低。
C60的[6,6]鍵比較容易發生親電反應這一點也可以通過分子表面的平均局部離子化能分析來體現，見《使用Multiwfn的定量分子表面分析功能預測反應位點、分析分子間相互作用》（http://www.shanxitv.org/159）。還可以通過繪制著色圖更直觀地體現，見《使用Multiwfn和VMD繪制平均局部離子化能(ALIE)著色的分子表面圖》（http://www.shanxitv.org/514）。筆者繪制了C60的ρ=0.0005 a.u.等值面的ALIE填色圖，如下所示，越藍的地方數值越負。黃球對應分子表面上ALIE的極小點位置。
由上圖可見，在[6,6]鍵上方，電子的平均電離能比其它地方更小，是電子最活潑的區域，因此從另一個角度也說明確實[6,6]鍵比[6,5]鍵更容易發生親電反應。
如果用常規形式的福井函數考察C60會是什么情況？下圖左側是軌道凍結近似方式算的f-的0.001 a.u.等值面，即相當于HOMO軌道密度等值面；右側是以有限差分方式嚴格算的f-的0.001 a.u.等值面。可見，兩種方式算的f-的分布都違背了C60的對稱性，因此難以，或者說根本沒法用于實際問題的討論。
軌道權重福井函數/雙描述符在Multiwfn里可以以非常豐富的形式去研究。比如這里我們也在分子表面上做軌道權重雙描述符的定量分析。相對于繪制等值面圖考察，這種方式能在定量層面上研究。由于軌道權重雙描述符對應于Multiwfn中自定義函數98，因此我們打開Multiwfn目錄下的settings.ini，把iuserfunc設為98，保存后啟動Multiwfn，然后依次輸入
C60.fch
12 //定量分子表面分析
1 //設置定義表面的方式
1 //用電子密度等值面
0.01 //等值面為ρ=0.01 a.u.（不能用此模塊默認的0.001 a.u.，否則效果不好）
2 //設置被映射的函數
-1 //用戶自定義函數，當前對應于軌道權重雙描述符
3 //設置格點間隔
0.25 //考慮到當前體系較大，把間隔設置得比默認大一些用于降低計算耗時。0.25 Bohr對于當前的研究精度足夠了
0 //開始分析
計算完畢后，選選項0，然后把原子球大小調節為3.0，此時可看到以下圖像。紅球和藍球分別對應于ρ=0.01 a.u.等值面上軌道權重雙描述符的極大點和極小點。
由上圖可見，在當前等值面的每個[6,6]鍵上方都有一個軌道權重雙描述符的極小點，比起任何其它區域數值都更負，清晰體現出這是電子最容易被親電進攻的位置。雖然在五元環中間也有個極小點，但由于其數值為正，因此這種地方并沒有顯著發生親電反應的傾向性。
值得一提的是，在Multiwfn的計算軌道權重函數的界面（主功能22）里有個選項5 Print current orbital weights used in orbital-weighted (OW) calculation，選了之后就會根據當前的Δ參數以及軌道能級輸出計算f+時用的最低10個空軌道以及計算f-時用的最高10個占據軌道的權重值。這些信息有助于令你清楚地了解這些軌道權重形式的函數的內在機制，往往也能幫助你判斷當前的Δ參數是否設得合理（比如如果低能占據軌道或高能空軌道的權重過高，有時可能就不太合理了，因而需要適當減小Δ參數）。比如對于C60這個例子，在默認的Δ參數下，選了這個選項就會輸出以下信息：
10 Highest weights in orbital-weighted f+
Orbital 181 (LUMO ) Weight: 12.47 % E_diff: 1.752 eV
Orbital 182 (LUMO+1) Weight: 12.47 % E_diff: 1.752 eV
Orbital 183 (LUMO+2) Weight: 12.47 % E_diff: 1.752 eV
Orbital 184 (LUMO+3) Weight: 6.32 % E_diff: 2.847 eV
Orbital 185 (LUMO+4) Weight: 6.32 % E_diff: 2.847 eV
Orbital 186 (LUMO+5) Weight: 6.32 % E_diff: 2.847 eV
Orbital 187 (LUMO+6) Weight: 4.70 % E_diff: 3.207 eV
Orbital 188 (LUMO+7) Weight: 4.70 % E_diff: 3.207 eV
Orbital 189 (LUMO+8) Weight: 4.70 % E_diff: 3.207 eV
10 Highest weights in orbital-weighted f-
Orbital 180 (HOMO ) Weight: 9.06 % E_diff: -1.752 eV
Orbital 179 (HOMO-1) Weight: 9.06 % E_diff: -1.752 eV
Orbital 178 (HOMO-2) Weight: 9.06 % E_diff: -1.752 eV
Orbital 177 (HOMO-3) Weight: 9.06 % E_diff: -1.752 eV
Orbital 176 (HOMO-4) Weight: 9.06 % E_diff: -1.752 eV
Orbital 175 (HOMO-5) Weight: 5.02 % E_diff: -2.728 eV
Orbital 174 (HOMO-6) Weight: 5.02 % E_diff: -2.728 eV
Orbital 173 (HOMO-7) Weight: 5.02 % E_diff: -2.728 eV
Orbital 172 (HOMO-8) Weight: 5.02 % E_diff: -2.728 eV
Orbital 171 (HOMO-9) Weight: 5.02 % E_diff: -2.728 eV
可見當前體系HOMO~HOMO-4是簡并的，在計算f-時總共占將近50%的權重，而其它更低階軌道的參與程度也不可忽視。如果你把Δ參數從默認的0.1 Hartree減小到0.05 Hartree，再次選選項5，就會發現f-幾乎完全由HOMO~HOMO-4貢獻了（此時的軌道權重雙描述符的等值面仍是合理的）：
10 Highest weights in orbital-weighted f-
Orbital 180 (HOMO ) Weight: 17.69 % E_diff: -1.752 eV
Orbital 179 (HOMO-1) Weight: 17.69 % E_diff: -1.752 eV
Orbital 178 (HOMO-2) Weight: 17.69 % E_diff: -1.752 eV
Orbital 177 (HOMO-3) Weight: 17.69 % E_diff: -1.752 eV
Orbital 176 (HOMO-4) Weight: 17.69 % E_diff: -1.752 eV
Orbital 175 (HOMO-5) Weight: 1.66 % E_diff: -2.728 eV
Orbital 174 (HOMO-6) Weight: 1.66 % E_diff: -2.728 eV
Orbital 173 (HOMO-7) Weight: 1.66 % E_diff: -2.728 eV
Orbital 172 (HOMO-8) Weight: 1.66 % E_diff: -2.728 eV
Orbital 171 (HOMO-9) Weight: 1.66 % E_diff: -2.728 eV
一般來說Δ參數參數不用動，如果你已經有了實驗結果，發現軌道權重福井函數/雙描述符預測的結果和實際不同，可以適當調調，看看能不能和實驗對上，從而來解釋實驗的觀測。另外，如果前線軌道能級本來就相差比較大，或者標準形式的福井函數、雙描述符就已經能很好解釋實驗了，那就完全沒必要用軌道權重形式了。
Multiwfn的計算軌道權重函數的界面里還提供了選項6用于計算各個原子Hirshfeld空間中的各種軌道權重函數的積分值便于定量對比各個原子的情況，即計算condensed（簡縮）形式的值。對C60，輸出信息為：
Atom index OW f+ OW f- OW f0 OW DD
1(C ) 0.01667 0.01667 0.01667 -0.00000
2(C ) 0.01667 0.01667 0.01667 -0.00000
3(C ) 0.01667 0.01667 0.01667 -0.00000
4(C ) 0.01666 0.01666 0.01666 0.00000
5(C ) 0.01666 0.01666 0.01666 0.00000
6(C ) 0.01667 0.01667 0.01667 -0.00000
...略
對于C60算這個沒什么意義，因為此體系里所有原子都是空間等價的，所以顯然所有原子空間中的積分值都相同，上面給出的數值也體現了這點。
4.2 例2：Hexabenzocoronene
Hexabenzocoronene這個體系的結構如下所示
這個體系有非常豐富的pi電子，哪里相對更容易發生親電反應？我們首先對這個結構進行優化，得到的fch文件在本文文件包里提供了（注：在wB97XD/6-31G*級別下，此fch文件對應的平面結構是有非常輕微破壞平面的虛頻的，但當前考察無視這個問題，因為當前結構和實際極小點結構不會相差多少，這點差異也不至于顯著影響分析結果）。
我們還是按照前例的做法來繪制軌道權重雙描述符的等值面圖，等值面數值為0.0001 a.u.時如下所示
由上可見，此體系中7個六元環上方軌道權重雙描述符數值為明顯負值（藍色等值面），說明親電反應容易發生在這些位置。
實際上，這7個環正是體系中芳香性最強的7個環。一種非常直觀的考察pi體系不同區域共軛程度高低的方法是LOL-pi，見筆者論文里的介紹和討論：Theor. Chem. Acc., 139, 25 (2020) DOI: 10.1007/s00214-019-2541-z。此體系的LOL-pi=0.5的等值面圖如下所示，是按照《在Multiwfn中單獨考察pi電子結構特征》（http://www.shanxitv.org/432）文中方法計算后再按照《在VMD里將cube文件瞬間繪制成效果極佳的等值面圖的方法》（http://www.shanxitv.org/483）中的做法渲染的。
可見軌道權重雙描述符所展現的7個最易發生親電反的環也正對應于LOL-pi展現的芳香性最高的7個環。這并非巧合而是有必然性，因為具有芳香性環的特征之一就是容易發生親電反應，見《衡量芳香性的方法以及在Multiwfn中的計算》（http://www.shanxitv.org/176）的第1節。用其它芳香性衡量指標也可以得到相同的結論。
4.3 例3：18碳環
18碳環是2019年首次在凝聚相下觀測到的一個結構奇特的體系，筆者對此體系及類似物做過大量理論研究且寫過諸多博文，匯總見http://www.shanxitv.org/carbon_ring.html，十分推薦一看。這里我們也用軌道權重福井函數/雙描述符來考察一下。
wB97XD/def2-TZVP下優化并產生的18碳環的fch文件在本文文件包里提供了。我們首先按照前文的做法直接繪制軌道權重福井函數f-和軌道權重雙描述符等值面，如下所示
18碳環里有兩類C-C鍵，一長一短，交替出現。其中一個較短的C-C鍵在上圖中通過箭頭標出了。可見兩種函數都指出較短的C-C鍵更容易發生親電反應，相對而言較長的C-C鍵則更容易被親核進攻。
在Multiwfn里不僅可以對軌道權重福井函數/雙描述符繪制等值面圖，由于程序的高度靈活性，還可以對其繪制某兩個點之間函數變化的曲線圖，或者某個截面的各種平面圖。下面，為了更充分地展現軌道權重福井函數在18碳環平面上的分布，我們繪制一下它在這個平面上的填色圖+等值線圖。把settings.ini里的iuserfunc設為98，然后啟動Multiwfn并輸入
C18.fchk
4 //繪制平面圖
100 //用戶自定義函數，目前對應于軌道權重雙描述符
1 //填色圖
[按回車用默認的格點數]
1 // XY平面
0 // Z=0的XY平面（即當前體系所在的平面）
把蹦出來的圖關掉，然后輸入如下命令調整繪圖設置
1 //設置色彩刻度上下限
-0.003,0.003
-8 //把坐標單位改為埃
-2 //修改坐標刻度間隔
1.5,1.5,0.001
2 //顯示等值線
4 //顯示原子標簽
1 //紅色
8 //顯示鍵
14 //棕色
15 //用藍色粗線顯示范德華表面輪廓
19 //設置色彩變化方式
8 //藍-白-紅
-1 //重新繪圖
現在在屏幕上看到下圖
上圖比起等值面圖更充分地展現了分子平面上軌道權重雙描述符的分布情況，可見在環內側的數值大小比環外側更高一些。
18碳環這個體系不適合用標準形式的福井函數考察。如《一篇最全面、系統的研究新穎獨特的18碳環的理論文章》（http://www.shanxitv.org/524）里介紹的筆者的18碳環研究論文中的“Electron ionization, electron affinity and structure reorganization”那一節的N-1與N電子態的密度差圖所示，按照有限差分方式算福井函數f-的話得到的等值面會傾向在體系的一側分布，不滿足體系的對稱性。
在上述的我的18碳環研究論文里通過分子表面的ALIE也考察了這個體系的反應位點問題，結論是較短的C-C鍵上的電子更容易失去、更容易被親電攻擊，和軌道權重雙描述符的結論一致，請大家自行查看文章。
4.4 例4：氯代甲烷
最后，我們用軌道權重雙描述符考察一下氯代甲烷CH3Cl這個體系。輸入以下命令
examples\CH3Cl.fchk
22 //計算概念密度泛函框架下定義的各種量
7 //計算軌道權重福井函數/雙描述符的格點數據
2 //中等質量格點
之后可以直接選4來觀看軌道權重雙描述符等值面。不過這里我們用VMD來渲染以獲得更好的效果，因此選擇選項8，Multiwfn就會把軌道權重雙描述符的格點數據導出到當前目錄下的OW_DD.cub中。之后按照《在VMD里將cube文件瞬間繪制成效果極佳的等值面圖的方法》（http://www.shanxitv.org/483）的做法用VMD繪制出0.008 a.u.等值面圖，如下所示（是直接用Tachyon (internal,in-memory rendering)方式渲染的，效果已經足夠好了，沒必要再單獨調用Tachyon渲染器）
由圖可見，環繞Cl原子的一圈等值面是藍色，即軌道權重雙描述符為負，體現出這部分區域的親核性高，表現出局部Lewis堿的特征，本質在于這個區域是Cl的豐富的孤對電子主要分布的區域。在C-Cl鍵軸兩端，軌道權重雙描述符都為明顯正值，以化學語言來解釋，在碳的那一頭的末端容易受到親核進攻，比如發生SN2反應就是這種情況；在Cl那一頭的末端則有一定親電性，體現出局部Lewis酸特征，這一點和這個區域存在sigma穴在本質上是呼應的。值得一提的是，通過用Multiwfn做價層電子密度分析可以從另一個角度也展現出相似的圖景，推薦看筆者的Revealing Molecular Electronic Structure via Analysis of Valence Electron Density一文（物理化學學報, 34, 503 (2018) http://www.whxb.pku.edu.cn/EN/10.3866/PKU.WHXB201709252）。
5 總結
本文介紹了軌道權重福井函數和軌道權重雙描述符的定義，并給出了大量計算和分析例子。相對于原始的福井函數和雙描述符的定義，它們在研究前線軌道(準)簡并的情況時有非常明顯的優勢。通過Multiwfn計算它們極度容易、靈活，耗時較低，且只需要提供一個波函數文件作為輸入文件即可，非常方便。雖然這倆函數之前并沒怎么受到廣泛關注，但由于其獨特的價值以及在Multiwfn中的完美實現，預計在未來會得到不少應用，并成為概念密度泛函領域、反應位點預測方法中的不可忽視的存在。
在Multiwfn里還可以對軌道權重福井函數/雙描述符做盆分析，從而得到整個三維空間中它們的極小點、極大點的位置和具體數值。只要先通過修改iuserfunc參數把用戶自定義函數設為其中一種，然后在盆分析模塊中選擇生成盆的函數的時候選擇User-defined function即可。盆分析的操作參看《使用Multiwfn做電子密度、ELF、靜電勢、密度差等函數的盆分析》（http://www.shanxitv.org/179），本文就不具體示例了。
除了前文提到的ALIE外，《使用Multiwfn通過局部電子附著能(LEAE)考察親核反應位點、難易及弱相互作用》（http://www.shanxitv.org/676）中介紹的LEAE與軌道權重福井函數的用途也有很大關聯，推薦讀者閱讀。